建築現場で大工さんに「そこのヒモを取ってくれ！」
と言われたらどっちを渡してあげないといけないのでしょう？

(状況にもよりますが)通常造作をしている最中なら細い木材のほうが正解です。
「ひもをまわす」とか「ひもを打つ」と言いますが、見切り材とか見切縁と呼ぶのが正解です。
例えばですが、リフォームなどで古い部分と新しい部分の床、壁、天井etcにどうすることもできないわずかな段差や隙間ができた場合に「ひもを打つ」ということをやります。
もしあなたのお家を工事していて、違和感のある隙間を見付けたら、「変なヒモは打たないでちゃんと納めてくださいね♪」とチクっとつぶやくと、”侮れないクライアント(;^ω^)”と思われるでしょう(^_-)-☆